1. 关于庞加莱猜想的证明，朱熹平他们哥俩到底做了多大贡献
“七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被科学家完全破解，而且是中国科学家完成“最后封顶”工作———中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。
数学家杨乐说，如果按百分之百划分，那么美国数学家汉密尔顿的贡献在50％以上，提出解决这一猜想要领的俄罗斯数学家佩雷尔曼的贡献在25％左右。“中国科学家的贡献，包括丘成桐、朱熹平、曹怀东等，在30％左右。”
(1)庞加莱股票分析扩展阅读：
庞加莱猜想（Poincaré conjecture）是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
2. 什么是庞加莱猜想
庞加莱是法国数学家，1854年4月29日生于南锡，1912年7月17日卒于巴黎。
庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林。庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源之一是遗传。他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。
庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作。
庞加莱的童年主要接受母亲的教育。他的超常智力使他成为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的入。尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。当然，剧烈的运动他是无法进行。
庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。
庞加莱l862年进入南锡中学读书。初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。从此，他习惯于一边散步，一边解数学难题。这种习惯一直保持终身。
1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。法国被战败了，法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领。为了了解时局，他很快学会了德文。他通过亲眼看到的德军的暴行，使他成了一个炽热的爱国者。
1871年3月18日，巴黎无产者举行了武装起义，普法的反动派又很快联合起来扑灭了革命烈火，庞加莱又继续上学了。1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖，从而使他于1873年被高等二科学校作第一名录取。据说，在南锡中学读书时，他的老师就誉称他为“数学巨人”。高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”，一方面要考出他的数学天才；另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演。
1875年～1878年，庞加莱在高等工科学校毕业后，又在国立高等矿业学校学习工程，准备当一名工程师。但他却缺少这方面的勇气，且与他的兴趣不符。
1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程方面的博士论文，获得了博士学位。然后到卡昂大学理学院任讲师，1881年任巴黎大学教授，直到去世。这样，庞加莱一生的科学事业就和巴黎大学紧紧地联在一起了。
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。
1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系，可以判定解的稳定性。
1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。
庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。
庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。
庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表勒第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关连系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。
庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。
庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。
庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群。
庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。
1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为l0000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。
1906年，庞加莱当选为巴黎科学院主席；1908年，他被选为法国科学院院士，这是一位法国科学家所能达到的最高地位。1908年庞加莱因前列腺增大而未能前往罗马，虽经意大利外科医生作了手术，使他能继续如前一样精力充沛地工作，但好景不长。
1912年春天，庞加莱再次病倒了，7月9日作了第二次手术；7月l7日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁!
庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。
罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是昂利·庞加莱。阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几何、集合论、数学基础等领域作出过杰出贡献的法国数学家认为，庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”
3. 数学家亨利·庞加莱
亨利·庞加莱(Jules Henri Poincaré)是法国数学家，1854年4月29日生于南锡，1912年7月17日卒于巴黎。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域。他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。
研究方向
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。 1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。 庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系，可以判定解的稳定性。 1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。 庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。 庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。 庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表了第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。 庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。 庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。 庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群。 庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。 1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为l0000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。
评价
阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几何、集合论、数学基础等领域作出过杰出贡献的法国数学家认为，庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。” 庞加莱逝世80年来的历史告诉我们，罗素、西尔维斯特、阿达马等的论断是多么正确！庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。
4. 在迈向相对论的进程中,庞加莱提出了哪些远见卓识
1893年他参加了法国经度局，参与了把全世界的时间同步的活动。在1897年，他支持了一个没有成功的把弧度测量十进制化进而把时间和经度十进制化的建议。这项工作导致他考虑高速移动的钟如何互相同步的问题。在1898年，在“时间的测量”中，他阐述了相对论原理，根据这个原理，没有机械或电磁试验可以区分匀速运动的状态和静止的状态。和荷兰理论家洛伦兹的合作中，他把时间的物理推向极限来解释快速运动的电子的行为。但正是阿尔伯特·爱因斯坦才准备好了重建整个物理大厦，是他推出了成功的新相对性模型。
昂利·庞加莱和阿尔伯特·爱因斯坦在他们在相对论上的工作有一段有趣的关系──实际上可以说是缺乏关系（Pais，1982年）。他们的交互开始于1905年，当时庞加莱发表了他的第一篇关于相对论的论文。该论文的课题是“部分运动学的，部分动力学的”，并包括洛伦兹关于洛伦兹变换（实际上是庞加莱给它这个名字的）的证明的更正。大约一个月后，爱因斯坦发表了他在相对论上的第一篇论文。两人都继续发表相对论上的工作，但是没有任何一个引用对方的工作。爱因斯坦不仅不引用庞加莱的工作，他也宣称从未读过！（不知道他是否最终读过庞加莱的论文。）爱因斯坦最后引用了庞加莱并且承认了他在相对论上的工作，这是在1921年称为“Geometrie und Erahrung”演讲稿中。在爱因斯坦其后的生涯中，他评论庞加莱为相对论的先驱之一。在爱因斯坦死前，爱因斯坦说：
洛伦兹已经认出了以他命名的变换对于麦克斯韦方程组的分析是基本的，而庞加莱进一步深化了这个远见……
5. 庞加莱猜想应该怎么解释
庞加莱猜想为法国数学家庞加莱提出的一个猜想，克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
(5)庞加莱股票分析扩展阅读
20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。
一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。但是失之东隅、收之桑榆，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，这些特例被称为怀特海流形。
6. 庞加莱的法文准确写法，而且要全名，谢谢
Jules Henri Poincaré
7. 庞加莱截面的提出背景
庞加莱截面(Poincare surface of section)由Poincare于十九世纪末提出，用来对多变量自治系统的运动进行分析。
8. 分形几何 此书有没有免费的
叹为观止！数学大师与漂亮的分形几何学
《美国数学会会志》今年连续在9月号和10月号上刊发忆述文章，回忆了美籍法国数学大师、“分形几何学之父”伯努瓦•曼德尔布罗的奋斗历程，并高度评价他为科学发展作出了巨大贡献。
《美国数学会会志》(Notices of the AMS)今年连续在9月号和10月号上刊发忆述文章，回忆了美籍法国数学大师、“分形几何学之父”伯努瓦•曼德尔布罗(BenoitMandelbrot)的奋斗历程，并高度评价他为科学发展作出了巨大贡献。
曼德尔布罗的生平与奋斗
1924年11月20日，伯努瓦•曼德尔布罗出生于波兰华沙的一个立陶宛犹太人家庭。父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。由于当时局势紧张，他的学业时断时续，受的教育也很不正规。他声称自己从未认真学习过字母，也没有系统地背诵过乘法口诀，只背过五以下的乘法表。11岁时，他跟着家人逃避战乱来到法国巴黎，投奔他的叔叔、知名数学家佐列姆•曼德尔布罗。战争来临时，一家人又逃到法国南部的蒂勒镇。曼德尔布罗做过一阵子机床维修学徒工后，巴黎解放，没有什么学术根底的他，完全靠自己的天赋和直觉，通过了巴黎高等理工学校长达一个月的笔试和口试。在该校学习期间，他参加过法国著名的数学团体——布尔巴基(Bourbaki)协会，但由于该协会摒弃一切图画，过分强调逻辑分析和形式主义，使得他无法忍受而成了一位叛逆者。那时候他已经意识到，不管给出什么解析问题，他总是可以用脑海中浮现的形状来思考。
曼德尔布罗1948年获美国加州理工学院硕士学位，1952年获巴黎大学博士学位。毕业后，他的职业生涯并不顺利，先是在瑞士知名心理学家让•皮亚杰(JeanPiaget)手下干了一段时间，然后于1953年前往美国普林斯顿高等研究院工作了一年。1958年，他在IBM公司的沃森研究中心获得一个职位。在那里，他依靠自己的几何直觉去研究看似毫无规律可循的事物，分析过棉花价格的涨落规律、尼罗河水位的变化情况、电话通路中自发噪声的本质以及英国海岸线的真实长度。在他看来，自然界的规律并不总是通过简化为理想的图形才能发现，往往复杂性本身也是有规律的。
与经典的描绘光滑、圆润对象的几何学(如欧氏几何学)相反，曼德尔布罗创造了一种表现斑点、缠绕、破碎对象的几何学。他认为，这种复杂性不是随机和偶然的，这些奇形怪状是有意义的，是自相似的，是跨越不同尺度对称的，而且这常常是理解事物本质的关键。他为这种复杂性引入了分维和分形(fractal)的概念，并将分形理论归纳为一个简洁的公式：f(z)=z?+c。在2010年春季的一次演讲中，曼德尔布罗解释说，如果你切开一朵花椰菜，会看到一样的花椰菜，只是小一点;如果你不断地切、不断地切，你还会看到一样的花椰菜，只是更小一点。
曼德尔布罗擅长于形象的、空间的思维，具有把复杂问题化为简单的、生动的、甚至彩色的图象的本领。他是个数学天才，又是个几何学与计算机科学兼通的奇才。1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海岸线有多长”的划时代论文，是他的分形思想萌芽的重要标志。1973年，在法兰西科学院讲学期间，他提出了分形几何学的整体思想，并认为分维是个可用于研究许多自然现象的有力工具。
1982年，曼德尔布罗完成了经典著作《大自然的分形几何学》。这本书将他对宇宙所知和所怀疑的一切都搜罗其中，其销量超过任何一本其他高等数学书籍。曼德尔布罗的奇思妙想，在当时主流科学家看来解决不了什么问题，因为它既不能证明什么东西，也不能创造什么东西。实际上，分形在当今多种学科中得到了广泛的应用，由于分形的引入，一些学科焕发新的活力。在经济学领域，人们用分形来分析股票价格;在生物学领域，人们用分形来分析细胞生长规律;在物理学领域，人们用分形来分析湍流和临界现象。
四处出击的曼德尔布罗，曾经不被他涉足的所有领域所接纳，即便是在数学家中间，他也是被遗忘的，直到其怪诞想法发展成为一门成熟的几何学，他提供的技术和语言成为混沌科学不可分割的部分。到了晚年，他获得的各种荣誉和头衔不可计数，包括著名的沃尔夫物理学奖。沃尔夫奖委员会对他的评语是，“通过认识分形普遍存在和发展研究分形的数学工具,他改变了我们的自然观。”有学者预言，分形几何学可能具有如相对论一般的意义。
美国知名科普作家詹姆斯•格莱克(James Gleick)在《混沌：开创新科学》一书中评价曼德尔布罗说，他始终是个局外人，在数学的不时髦的角落里持着非正统的看法，探索着一些并未使他受欢迎的学科，为了把文章发表出去不得不把最伟大的思想隐藏起来，主要靠着约克镇高地(IBM总部所在地)雇主的信任才得以存活。他对像经济学这样的一些领域搞过突击，然后又撤走，留下一些招惹性的想法而缺少论据充分的工作。
曼德尔布罗非常崇拜有“数学全才”之称的亨利•庞加莱(Henri Poincare);他说，“一位极其伟大的数学家，他开创了数学的许多分支。他曾经说过他本人从不去证明复杂的定理，也不太在意这些证明，他更注重的是概念。”他还说，“跟他相比我还差得很多。我的意思是我发现的许多真相并不是纯数学推导而来，而是对数学图景的熟练掌握之后所提出的新问题而已。”
曼德尔布罗还说过，如果把竞赛置于一切之上，如果为了阐明竞赛规则而退缩到狭隘定义的专业中去，科学就会毁灭。别人称他为“分形几何学之父”，而他却戏谑自己是“流浪汉学者”，又称自己是“特立独行者”和“按需先锋队”，徜徉于自己爱好的天地中。他一直是哈佛大学、马萨诸塞理工学院的访问教授，但1987年才在耶鲁大学数学系获得正式教职，12年后才成为终身教授，此时他已经75岁。
曼德尔布罗投身科学事业50余年来，在许多领域做出了重要贡献，横跨数学、物理学、地学、哲学、经济学、生理学、计算机科学、天文学、情报学、信息与通讯、城市与人口、设计与艺术等学科和专业，是一位名副其实的博学家。
2010年10月14日，曼德尔布罗在美国马萨诸塞州剑桥市因病逝世，享年85岁。法国总统尼古拉•萨科齐向曼德尔布罗家人表示哀悼，“法国对曾经接纳伯努瓦•曼德尔布罗、让他受益于最好的教育而感到骄傲”，“他的工作完全是在主流科学之外发展起来，却成为现代信息理论的基础”。国际学术界也对失去这位勇于创新的天才数学家感到悲痛。
分形几何学的意义与应用
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质。形象地说，就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时，无论放大倍数如何改变，看到的照片都是相似的，而从相片上无法判断所用的相机的倍数，即标度不变性或全息性。
例如，一棵参天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系，在几何形状上称之为自相似关系;我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质;动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞基因记录着这头牛的全部生长信息;还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。正如曼德尔布罗在《大自然的分形几何》一书中写道：“云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。”
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，人们通常习惯于整数的维数。然而，分形几何学认为维数也可以是分数，称其为分数维(简称分维);分维是分形的定量表征和基本参数。曼德尔布罗曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察，它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可分解成一维的纤维。
德国知名数学家费利克斯•豪斯道夫(Felix Hausdorff)在1919年提出了连续空间的概念，也就是空间维数是可以连续变化的，它可以是整数也可以是分数，被称为豪斯道夫维数。因此，曼德尔布罗也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。
上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。美国物理学大师约翰•惠勒(John Wheeler)曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。
中国知名学者周海中曾指出：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，从而改变了人们理解自然奥秘的方式;可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。它不仅给人们以美的享受，在实际应用方面也有重要的价值。例如英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德尔布罗的计算，英国海岸线的维数为1.26。有了分维，海岸线的长度就可以确定了。
海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的100公里长的海岸线与10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
分形几何学在数学、物理学、生物学等许多科学领域中都得到了广泛的应用，甚至对流行文化领域也产生了重要影响。例如在1970年代后期曼德尔布罗集合成为一种文化符号，被大量印制在T恤、棒球帽和帆布包上。今天，人们可以在网络上，浏览与欣赏各种不同风格且优美奇妙的分形作品，这类作品一般是运用迭代法并通过计算机处理才能表现出来的;有的针对科学研究中要表达的一些特别的对象，有的则完全是艺术。美妙惊奇的分形图画，有时令人心旷神怡，有时又令人眼花缭乱。分形几何使我们看到从《星际迷航》、《星球大战》直到《指环王》、《阿凡达》、《让子弹飞》中的一幕幕激动人心的特效场景，把手机天线缩小到能够藏进机身，把飞机仪表板设计得更加一目了然，把屋内装修设计得更加舒适美观......
最后一提的是，英国的数学“极客”丹尼尔•怀特(Daniel White)利用特定的数学方程式，经过反复运用迭代算法(迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令或一定步骤进行重复执行，在每次执行这组指令或步骤时，都从变量的原值推出一个新值)，最终创作出一组令人叹为观止的三维分形结构图案;这组图案被英国《自然》杂志评为“2009年度十大科学图片”之一。(金炳南写于法国图卢兹大学)
9. 庞加莱猜想到底是什么